Litujeme, ale tato diskuse byla uzavřena a již do ní nelze vkládat nové příspěvky.
Děkujeme za pochopení.
PK

Mně se zdá, že jste tu Cantorovu diagonální metodu nepochopil - jak ostatně sám píšete, že jste na to zíral nechápavě. Pan Olšák už vám dole správně vysvětlil, že jste vlastně spočítal všechna čísla s konečným desetinným rozvojem, což je pouze podmnožina racionálních čísel. Číslo pí ani 1/3 ve vašem seznamu není. "Být v seznamu" totiž znamená "být v seznamu na konečném místě". Ve vašem seznamu jsou pí i 1/3 na nekonečných místech, ta nejsou zajímavá.

A teď ještě k té diagonální metodě. Je to tzv. důkaz sporem. Spor spočívá v tom, že předpokládáme, že máme úplný seznam, ale ukážeme, že existuje minimálně jedno číslo, které musí být v číslované množině, ale v daném seznamu se nevyskytuje. A proč se tam nevyskytuje? Protože pokud by se tam někde vyskytovalo, musí být na "konečném" místě v seznamu, tedy třeba na pozici k. Jenže pak musí samo číslo mít na k-tém místě stejnou číslici, jako to zkonstruované z té diagonály. Jenže tam má zaručeně číslici jinou, protože to byl princip té konstrukce. Takže opravdu v seznamu není. Můžeme ho sice přidat, ale až na nekonečnou pozici. A ta není v indexu.

Hmm, je to opravdu na palici, pro člověka duševně ne dostatečně odolného je lepší se takovým úvahám vyhnout :-)

0 0
možnosti
VJ

Děkuji, chápu uvedený důkaz sporem, chápu i to, že matematik má vycvičené určité postupy uvažování, které postupně přijal od svých mentorů, ale zkuste se vžít do role sedláka. Vezmu v úvahu, že jakékoli iracionální číslo, které je součástí reálných čísel má nekonečný nepravidelný rozvoj, v tu chvíli mi zazáří v mysli jako polední slunce, že  číslo s takovouto vlastností nemohu nikam zapsat, protože nevím jak celé vypadá a nikdy to nezjistím, natož ho někam umístit.  Přímé, jednoduché, proč chodit na to od lesa :-) (prostě to v představě vidím a v zásadě při odskakování nových větví při pokračujícím dělení vidím i tu metodu, jen mi to přijde druhotné). U racionálních čísel jsem schopen provést bijekci proto, že jsem schopen provést zápis pomocí celých ukončených čísel (míněno v č. a jm.). Tuším, co si asi teď myslíte, ale to bude tím antagonistickým rozdílem ;-D. Zajímalo by mě jestli existují nějaké ne samoúčelně teoretické, ale v praxi použitelné úlohy, kde je potřeba rozlišovat mezi reálnými a racionálními čísly. V počítačích jsou veškerá reálná čísla aproximovány racionálními a to s možností do nekonečna. Jestli si matematici nemučí hlavy s problémy (a šijou na sebe boudy), které se v zásadě podobají středověkým sporům, jestli Bůh může hýbat vesmírem nekonečně rychle (G.Bruno) nebo kolik andělů se vejde do prostoru.:-)

0 0
možnosti
Foto

Zdravím,

spočetnosti, nespočetnosti a dalším legráckám dost rozumím (podle ZFC), ale moc nerozumím vám. Ukázal jste, že všech čísel s konečným desetinným rozvojem je spočetně -- to je pravda, ostatně je to jen podmnožina racionálních čísel. Není mi ale moc jasné, za co považujete reálné číslo. Já mám reálné číslo za matematický objekt, který má v sobě (aktuálně) zaneseno pro každé přirozené číslo, odpověď na otázku, která cifra se na daném místě nachází. Pokud tvrdíte, že v seznamu máte na některém místě například 1/3, na kterém? Musíte sáhnout po "nekonečně velkém" přirozeném čísle?

Jestli jsem to dobře pochopil, tak popíráte koncept aktuálního nekonečna, což je s teorií množin (a tedy spočetností, nespočetností, ...) nejspíš opravdu celkem těžko kompatibilní. Koncept spočetna a nespočetna totiž předpokládá, že máte v ruce aktuálně nekonečné množiny, které porovnáváte. O Vopěnkově teorii jsem trochu slyšel, ale moc o ní nevím. Jen tuším, že je inspirovaná nestandardními rozšířeními teorie množin (právě ta "nekonečně velká" přirozená čísla). Současně vím, že Vopěnka popírá existenci množiny přirozených čísel. Ne snad proto, že by se mu příčila představa aktuálního nekonečna, ale proto, že není možné tuto množinu dobře filosoficky uchopit bez toho, aby měl člověk jistotu, že omylem nesebral i další nekonečně velká přirozená čísla.

Jinak já osobně obzvlášť v teorii množin a logice preferuji formalismus před intuicí právě proto, abych se z toho nezbláznil, protože vím, nakolik ošidné a neintuitivní tvrzení tam jsou. Matematiku považuji za něco, co dává odpovědi na jasně formulované (formální) otázky (například za předpokladu axiomatiky ZFC nemůžeme sestrojit bijekci mezi přirozenými a reálnými čísly) nikoli na všeobecné otázky světa (to přenechávám filosofii). Mimochodem, setkal jste se s neúplností? -- pro filosofa skvělý argument, proč je jakýkoli formalismus nevyhovující ;-).

2 0
možnosti
VJ

K vašemuprvnímu odstavci: V zdrojích, ke kterým jsem se dostal, bylo řečeno, žeseznam, tedy způsob řazení může být libovolný (dokonce viz ukázka metody), jdeo to, aby podle nějaké jednoduchého logického příkazu (stroje) šly ve výhleduvygenerovat čísla všechna. Pokud pořadí musí být přesné a nezaměnitelné, tak tosamozřejmě nejde. Ale třeba u celých nebo racionálních čísel máte dvě možnosti,můžete začít kladnou nebo zápornou jedničkou a už máte ordinální číslaposunutá.

Co se týče1/3 - není vlastně důkazem, že reálná čísla jsou nespočetná a priori jižexistencí čísla s nekonečným rozvojem. Které číslo v seznamu napíšetejako první, když se pokusíte (na místě Cantora, …trochu empatie, zkuste sepostavit před problém v jeho době) o seznam Reálných čísel. Podle mne nezvolíte aniprvní číslo (nebo vás nějaké napadá?), leda že byste začal s čísly zespočetných oborů, které také patří do množiny Reálných čísel. Pak je, a o to mišlo, celá diagonální metoda k ničemu. Opravdu mi nejde o dokazováníspočetnosti R (v článku to zmiňuji), ale o ten psychologický efekt, že nějakáosobnost něco pronese a všichni se před tím začnou uctivě uklánět, aniž by setomu kriticky podívali na zoubek. To je gró článku. (Anebo uznávám, jsem blbej,protože mi nedochází její význam, ať to beru z kteréhokoliv konce.... pokr.

0 0
možnosti
JL

J76a63k48u80b 96L81é74d75l

14. 9. 2015 21:51

Hledáte problém tam, kde žádný není. Pokud dělá matematik matematiku a ne matematickou filosofii, pak jsou mu absolutně ukradené nějaké spory o aktuálnost/potencionálnost nekonečen atd.

Zcela nepochybným faktem je, že ve formálním logickém systému,

ve kterém je prováděna většina matematického výzkumu (klasická logika prvního řádu s rovností), s danými axiomy (Zermelova-Fraenklova teorie s axiomem výběru) je pomocí pevně daných odvozovacích pravidel dokazatelná formální věta, kterou překládáme

"Neexistuje bijekce mezi množinou přirozených čísel a reálných čísel". Nejde o žádné tvrzení, které by se týkalo jakési platonické reality matematických objektů (mj. já například zastávám pozici,

že matematické objekty žádnou nezávislou existenci nemají). Zvolte si jiný formální systém a můžete mít klidně spočetnou množinu R. Pak můžete přesvědčit zbytek matematického světa, že

ten Váš systém je lepší.

Pokud se s Vámi nějaký matematik odmítl bavit na toto téma, tak to není proto, že jste diletant, ale protože se dopouštíte té samé chyby, kvůli které jsme strávili celé 20. století formalizací matematiky - argumentujete neformálně a intuitivně, proto Váš argument není možné ověřit, jelikož vlastně nikdo neví z jakých vycházíte premis, jaká pravidla dedukce používáte atd.

0 0
možnosti
VJ

Dobře, dobře, neberte to tak vážně, prostě to byla zkušenost při mém seznamování se s matematikou (viz v článku - populární kniha, ale napsaná v posledních letech, kde bylo psáno o diagonální metodě jako o platném důkazu). Problém spočetností oborů se mi jeví jako pseudoproblém a šlo mi jen o jakousi krátkozrakost diagonální metody jako logického přístupu k věci, když jsem si představil sebe na místě pana Cantora při řešení problému. Jinak nevím, co míníte nezávislostí matematických objektů, ale čísla jakožto stavební kameny pro ostatní objekty jsou neoddělitelné od našich geometrických představ a v tomto prostoru mají celkem nezávislou existenci. Proto se matematik může celý život zabývat nikdy v praxi nezužitkovatelnými ptákovinami. 

Jinak jsem si všiml, jak je u matematiků devalvovaný pojem intuice. Slovo formálnost ve mně evokuje umělou hranici a jsem přesvědčen, že žádný formalista nikdy neposunul vývoj v čemkoli dopředu, právě pro vyprahlost intuitivního myšlení. (Ale jistě byl velmi užitečný pro řešení zcela určitého praktického úkolu.) Jistí lidé si však rádi na sebe takové klece kovají, prostí lidé nechápou, proč by měli do nich lézt. Četl jsem nyní pár knih od Petra Vopěnky a z toho, co jsem pochopil, je, že právě celá formalizace matematiky 20 století je chápána, jako vyumělkovaný krok stranou a je třeba se vrátit k přirozeným a otevřeným náhledům.

Pro mne je filosofický rozměr skutečně důležitý, matematiku stejně jako ostatní obory beru jako součást celku, škatulky si vymyslel člověk jako následek svých aspektů, protože nedokáže přehlížet a vnímat věci jako spojitý celek. Ale jestli žijete jen pro to hmotné, tak je to vcelku putna.

0 0
možnosti

Redakční blogy

  • Redakční
               blog
  • Blog info
  • První pokus
  • Názory
               a komentáře

TIP REDAKCI & RSS